復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性ifs迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)方法，特別是涉及一種復(fù)解析多項(xiàng)式構(gòu)造非線性 IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形的方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 分形（Fractal)自1975年由著名數(shù)學(xué)家B. B. mandelbrot提出以來日益受到各國 學(xué)者的重視，相關(guān)理論與應(yīng)用在過去的幾十年里取得了飛速的發(fā)展，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、材料 科學(xué)、地質(zhì)勘探、疾病診斷、股價(jià)預(yù)測以及計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)等許多領(lǐng)域中，都取得了重要 研究成果和廣泛的應(yīng)用。由于分形幾何方法的引入，使一些原已死寂一般老的學(xué)科方向煥 發(fā)了新的生機(jī)，也使一些正蓬勃發(fā)展的新學(xué)科獲得了巨大的推動(dòng)力。分形與計(jì)算機(jī)科學(xué)的 結(jié)合，一方面使分形理論推動(dòng)了計(jì)算機(jī)繪圖方法的迅速發(fā)展，使計(jì)算機(jī)在信息壓縮及模仿 自然現(xiàn)象中的各種奇妙現(xiàn)象發(fā)揮了重要的作用；另一方面，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也大大地推動(dòng)了 分形理論的發(fā)展，并且由于模擬分形成功而展現(xiàn)出的優(yōu)美的分形圖像，迅速地提高了分形 這門新興科學(xué)的聲望，擴(kuò)大了她的影響。目前，用計(jì)算機(jī)繪制分形圖像不僅使繪制分形的算 法理論及程序設(shè)計(jì)已成為一獨(dú)立的研究方向，同時(shí)繪制的分形圖也已經(jīng)成為了一種抽象的 藝術(shù)形式。
[0003] IFS (Iterated function systems)是迭代函數(shù)系的英文縮寫，是構(gòu)造分形的一種 重要方法。一個(gè)IFS由若干個(gè)線性壓縮仿射變換組成，數(shù)學(xué)上通過無限次的隨機(jī)挑選IFS 中的一個(gè)線性壓縮變換對初始點(diǎn)的反復(fù)迭代，可以生成嚴(yán)格的分形；實(shí)踐中采用有限次的 隨機(jī)迭代可以得到計(jì)算機(jī)顯示器分辨率條件下的近似分形，可以理解成將整體形態(tài)變換到 局部的壓縮迭代過程，這一過程可以一直進(jìn)行下去，直到得到滿意的結(jié)果。反復(fù)迭代IFS，有 奇怪吸引子出現(xiàn)，而奇怪吸引子一般都是分形。目前用的線性壓縮迭代函數(shù)系在生成分形 方面、分形圖像壓縮方面以及自然景物模擬等多方面都有重要的應(yīng)用。
[0004] 目前學(xué)術(shù)界對迭代函數(shù)系的研究已由經(jīng)典的線性壓縮迭代函數(shù)系開始向非線性 壓縮迭代函數(shù)系發(fā)展，所研究的非線性壓縮迭代函數(shù)系是對線性壓縮迭代函數(shù)系的改造， 或是將在迭代函數(shù)系中加入數(shù)個(gè)非線性映射，使迭代函數(shù)系的組成函數(shù)同時(shí)包含線性映射 和非線性映射，并非完全由非線性壓縮映射構(gòu)成迭代函數(shù)系。
[0005] 非線性動(dòng)力系統(tǒng)研究中的M(Mandelbrot)集是以分形幾 何的創(chuàng)始人B. B. Mandelbrot的名字命名的，是復(fù)解析2次多項(xiàng)式 /〇) = z2 +C (z和^均為復(fù)數(shù)）在動(dòng)力平面上能夠構(gòu)造出連通的Julia集分形圖形的參數(shù) 組成的參數(shù)平面上的集合，這種集合本身是一個(gè)自相似的具有深刻內(nèi)涵的分形?？梢杂迷?M集中挑選不同的參數(shù)^所建立的復(fù)映射/(z) = Z2+c7去生成包含不同吸引周期軌道的各 種形狀的充滿Julia集分形圖形圖，這種圖形是吸引周期軌道吸引域中的所有點(diǎn)組成的集 合。本發(fā)明提出了一種用復(fù)解析多項(xiàng)式映射/(幻=? 構(gòu)造IFS迭代函數(shù)系的方法并生 成新型分形圖形。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0006] 本發(fā)明的目的在于提供一種復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形的 方法，該方法提出了采用單參復(fù)解析壓縮多項(xiàng)式映射/⑷= 2s+e (?之2 )構(gòu)造非線性 IFS迭代函數(shù)系并用其構(gòu)造分形的方法，編程簡便、易于實(shí)現(xiàn)，其局部放大圖更具藝術(shù)欣賞 價(jià)值。
[0007] 本發(fā)明的目的是通過以下技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)的： 復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，所述方法包括以下過程：所用 的迭代映射都是單參數(shù)的復(fù)解析多項(xiàng)式映射/0) =，+c(m2 2 )，對于固定的n值，在參 數(shù)平面上的廣義M集的1周期吸引參數(shù)區(qū)域挑選參數(shù)，并做符合式（2)或式（3)規(guī)定的參 數(shù)挑選，做符合式（4)的2(n-l)個(gè)非線性壓縮迭代映射的構(gòu)造，構(gòu)造出本發(fā)明提出的非線 性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。
[0008] 所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，所述該迭代函數(shù)系 中的每一個(gè)迭代映射在動(dòng)力平面上有包含吸引不動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)的有界吸引域，且非線性IFS中 的所有迭代映射有共同的吸引域區(qū)域。
[0009] 所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，所述該迭代函數(shù)系 中的每一個(gè)迭代映射在動(dòng)力平面上的吸引不動(dòng)點(diǎn)均在共同吸引域內(nèi)，因此，提供的非線性 IFS迭代函數(shù)系在動(dòng)力平面上的初始迭代點(diǎn)可取IFS中的任意一個(gè)迭代映射的不動(dòng)點(diǎn)。
[0010] 所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，所述這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)由 平面原點(diǎn)在指定迭代映射的反復(fù)迭代下獲得，并作為構(gòu)造分形的初始迭代點(diǎn)。
[0011] 所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，所述通過隨機(jī)挑選 IFS中的迭代映射，連續(xù)迭代初始迭代點(diǎn)，記錄與初始迭代點(diǎn)的軌道相應(yīng)的計(jì)算機(jī)屏幕像素 點(diǎn)被訪問的次數(shù)，在達(dá)到指定迭代次數(shù)后，為像素著色，完成IFS迭代函數(shù)系的奇怪吸引子 或分形的構(gòu)造。
[0012] 本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)與效果是： a..經(jīng)典的IFS迭代函數(shù)系由2個(gè)以上的線性壓縮仿射變換構(gòu)成，本發(fā)明構(gòu)造的IFS迭 代函數(shù)系由2個(gè)以上的非線性壓縮的單參復(fù)解析多項(xiàng)式映射構(gòu)成。由于所選參數(shù)可以建立 一個(gè)在動(dòng)力平面上有1周期吸引軌道的迭代映射，IFS迭代函數(shù)系中的每個(gè)迭代映射都有 在其吸引域內(nèi)是壓縮變換的特性，因而本發(fā)明構(gòu)造的是非線性壓縮迭代函數(shù)系。由于壓縮 的IFS有奇怪吸引子，因此，本發(fā)明構(gòu)造的非線性IFS也有自己的奇怪吸引子。
[0013] b.本發(fā)明構(gòu)造的IFS迭代函數(shù)系采用的復(fù)多項(xiàng)式迭代函數(shù)是國際上復(fù)解析動(dòng)力 系統(tǒng)圖形化研究的最基本的迭代映射，本發(fā)明的IFS中的每一個(gè)映射在動(dòng)力平面上都有其 相應(yīng)的充滿Julia集分形，但由于是具有1周期吸引軌道的迭代映射，相應(yīng)的充滿Julia集 圖形具有封閉曲線特性，其藝術(shù)欣賞價(jià)值不高(如圖2和圖3所示，其中的巧點(diǎn)是由q參數(shù) 建立的迭代映射的1周期吸引軌道或稱為吸引不動(dòng)點(diǎn))，但是用這樣的壓縮映射構(gòu)造出來的 IFS迭代函數(shù)系在各迭代映射的共同吸引域中迭代出來的奇怪吸引子是復(fù)雜的分形圖案， 有藝術(shù)的欣賞價(jià)值，如圖5所示。
[0014] c.由于同一 M集中不同位置的參數(shù)對應(yīng)動(dòng)力平面上的不同吸引域，不同M集中的 參數(shù)也對應(yīng)不同的吸引域區(qū)域，因此，應(yīng)用本發(fā)明提出的方法可以挖掘出單參復(fù)多項(xiàng)式解 析映射中的無盡的奇怪吸引子和分形結(jié)構(gòu)，可以建立由復(fù)解析多項(xiàng)式構(gòu)造的新型分形圖形 圖庫。
[0015] d.按照本發(fā)明提供的非線性壓縮IFS的構(gòu)造方法構(gòu)造分形，編程簡便，易于實(shí)現(xiàn)。
[0016] e.本發(fā)明算法生成的圖形具有Am對稱特性，其局部放大圖更具藝術(shù)欣賞價(jià)值。
[0017] f.本發(fā)明生成的圖形或圖形的一部分可以用于游戲開發(fā)、家裝設(shè)計(jì)、圖形制作、月艮 裝設(shè)計(jì)、紡織印染、陶瓷設(shè)計(jì)、壁紙?jiān)O(shè)計(jì)等各種需要新穎圖案的應(yīng)用領(lǐng)域。本發(fā)明構(gòu)造的IFS 迭代函數(shù)系可用于非線性科學(xué)的其他復(fù)雜現(xiàn)象的模擬研究，例如材料的空隙特性、非線性 的信息壓縮等領(lǐng)域。
【附圖說明】
[0018] 圖1為由復(fù)解析映射/(z) = z"+ e構(gòu)造的廣義M集：
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，其特征在于， 所述方法包括以下過程：所用的迭代映射都是單參數(shù)的復(fù)解析多項(xiàng)式映射
，對于固定的n值，在參數(shù)平面上的廣義M集的1周期吸引參數(shù)區(qū)域 挑選參數(shù)，并做符合式（2)或式（3)規(guī)定的參數(shù)挑選，做符合式（4)的2 (n-1)個(gè)非線性壓 縮迭代映射的構(gòu)造，構(gòu)造出本發(fā)明提出的非線性IFS以及它的奇怪吸引子或分形。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，其特 征在于，所述該迭代函數(shù)系中的每一個(gè)迭代映射在動(dòng)力平面上有包含吸引不動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)的有 界吸引域，且非線性IFS中的所有迭代映射有共同的吸引域區(qū)域。
3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，其特 征在于，所述該迭代函數(shù)系中的每一個(gè)迭代映射在動(dòng)力平面上的吸引不動(dòng)點(diǎn)均在共同吸引 域內(nèi)，因此，提供的非線性IFS迭代函數(shù)系在動(dòng)力平面上的初始迭代點(diǎn)可取IFS中的任意一 個(gè)迭代映射的不動(dòng)點(diǎn)。
4. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，其特 征在于，所述這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)由平面原點(diǎn)在指定迭代映射的反復(fù)迭代下獲得。
5. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，其 特征在于，所述通過隨機(jī)挑選IFS中的迭代映射，連續(xù)迭代初始迭代點(diǎn)，記錄與初始迭代點(diǎn) 的軌道相應(yīng)的計(jì)算機(jī)屏幕像素點(diǎn)被訪問的次數(shù)，在達(dá)到指定迭代次數(shù)后，為像素著色，完成 IFS迭代映射的奇怪吸引子或分形的構(gòu)造。
【專利摘要】復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系構(gòu)造分形方法，涉及一種計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)方法，該方法基于單參數(shù)的復(fù)解析多項(xiàng)式映射 ()，在相應(yīng)的參數(shù)平面上的廣義M集的1周期吸引參數(shù)區(qū)域挑選參數(shù)c，依據(jù)M集的對稱特性，構(gòu)造出2(n-1)個(gè)與c有Dn-1對稱特性的參數(shù)，由2(n-1)個(gè)參數(shù)建立2(n-1)個(gè)復(fù)解析多項(xiàng)式映射，組成一種復(fù)解析多項(xiàng)式的非線性IFS迭代函數(shù)系，并迭代構(gòu)造出奇怪吸引子或分形圖形。本方法生成的圖形可用在游戲開發(fā)、家裝設(shè)計(jì)、圖形制作、服裝設(shè)計(jì)、紡織印染、陶瓷設(shè)計(jì)、壁紙?jiān)O(shè)計(jì)等需要新穎藝術(shù)圖形設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域，所構(gòu)造的IFS可用于材料的孔隙模擬及其他非線性科學(xué)中復(fù)雜現(xiàn)象的模擬。
【IPC分類】G06F17-15
【公開號】CN104572581
【申請?zhí)枴緾N201510051282
【發(fā)明人】陳寧, 馮冬冬
【申請人】沈陽建筑大學(xué)
【公開日】2015年4月29日
【申請日】2015年2月2日