本發(fā)明涉及多速率信號處理技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于凸優(yōu)化的m通道過采樣圖濾波器組的優(yōu)化設(shè)計方法。

背景技術(shù)：

圖信號處理在社交、生物、交通、傳感器網(wǎng)絡(luò)處理以及圖像處理等方面有著重要的應(yīng)用意義。在實際應(yīng)用中，圖數(shù)據(jù)量十分龐大，給圖信號處理帶來了一定的難度。多分辨率分析是一種局部化時頻分析，可對信號進行多尺度細化分析，有效提取信號的特征信息，但是其對于大數(shù)據(jù)處理有一定的局限性。然而，對于大數(shù)據(jù)而言，小波和濾波器組是較為適合處理大規(guī)模的圖信號的，小波和濾波器組可以對圖信號進行稀疏表示，從而處理大數(shù)據(jù)更有優(yōu)勢。圖濾波器組從頻譜設(shè)計角度可以分為正交、雙正交兩大類，從信號采樣角度分為臨界采樣和過采樣兩大類，按通道數(shù)可分為兩通道和m通道兩大類。兩通道圖濾波器組設(shè)計最早是narang和ortega提出的完全重構(gòu)正交的臨界采樣的小波濾波器組設(shè)計方法，對于二分圖用正交鏡像濾波的方法來進行處理，此方法設(shè)計出的濾波器具有混疊消除，完全重構(gòu)和正交性特性，但該設(shè)計方法是針對于二分圖或可以分解為二分圖的圖信號的，其存在一定的局限性。于是他們又提出了對于任意無向圖的緊支撐的雙正交的小波濾波器組的方法，松弛正交性條件成為雙正交，雙正交的圖小波是頻域緊支撐且節(jié)點k階局域化的，仍然滿足完全重構(gòu)條件，可以對任意圖信號進行處理，但此方法未考慮濾波器的頻譜選擇性，從而有一定的局限性。圖濾波器組的設(shè)計方法發(fā)生了由正交到雙正交，臨界采樣到過采樣，兩通道到m通道的轉(zhuǎn)變。

圖信號處理從臨界采樣到過采樣突破了原有的局限性，過采樣后的信號包含了原來圖信號的全部信息，更加方便圖信號的進一步處理。過采樣的圖拉普拉斯矩陣對于圖信號處理的發(fā)展和應(yīng)用至關(guān)重要，過采樣對于規(guī)則信號的處理有更大的設(shè)計自由。過采樣對于m通道圖濾波器組的設(shè)計具有極大的優(yōu)勢，m通道圖濾波器組具有更多的子帶劃分，對于大規(guī)模的信號處理有重大的意義。目前，針對m通道圖濾波器組的研究相對較少，進一步的研究有待提出。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的是現(xiàn)有m通道過采樣圖濾波器組整體性能較差的問題，提供一種基于凸優(yōu)化的m通道過采樣圖濾波器組的優(yōu)化設(shè)計方法。

為解決上述問題，本發(fā)明是通過以下方案實現(xiàn)的：

基于凸優(yōu)化的m通道過采樣圖濾波器組的優(yōu)化設(shè)計方法，具體包括如下步驟：

步驟1、從頻譜特性方面考慮來設(shè)計m通道圖濾波器組的分析濾波器，在3db約束條件下，以分析濾波器組的通帶波紋和阻帶能量為目標函數(shù)，通過半正定規(guī)劃求解器來求解使得分析濾波器組的通帶失真和阻帶能量最小的分析濾波器；優(yōu)化問題即

i＝0,1,…,m/2-1；j＝1,2,…,m/2-1

式中，ep(h)為分析濾波器的通帶波紋能量；es(h)為分析濾波器的阻帶能量；α為分析權(quán)值；h為分析濾波器組，h＝[h0；h1；…；hm/2-1]；(·)為第i個分析濾波器hi的頻率向量，lhi為第i個分析濾波器hi的長度，hi為第i個分析濾波器；當i＝1,2,…,m/2-2時，hi＝[0i1,ii,0i2]h；當i＝0時，hi＝[ii,0i2]h；當i＝m/2-1時，hi＝[0i1,ii]h；0i1為大小為lhi×(lh0+lh1+…+lh(i-1))的全零矩陣，0i2為大小為lhi×(lh(i+1)+lh(i+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ii為大小為lhi×lhi的單位矩陣；(·)為第j個分析濾波器hj的頻率向量，lhj為第j個分析濾波器hj的長度，hj為第j個分析濾波器，當j＝1,2,…,m/2-2時，hj＝[0j1,ij，0j2]h；當j＝m/2-1時，hj＝[0j1,ij]h；0j1為大小為lhj×(lh0+lh1+…+lh(j-1))的全零矩陣，0j2為大小為lhj×(lh(j+1)+lh(j+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ij為大小為lhj×lhj的單位矩陣；t代表轉(zhuǎn)置；m為通道數(shù)；

步驟2、將步驟1所解出的分析濾波器作為已知條件，從完全重構(gòu)特性方面考慮來設(shè)計m通道圖濾波器組的綜合濾波器，在完全重構(gòu)約束條件下，以綜合濾波器組的阻帶能量為目標函數(shù)，通過半正定規(guī)劃求解器來求解使得綜合濾波器的阻帶衰減最大的綜合濾波器；優(yōu)化問題即

s.t.|a^t(λk)g-bk|≤εr；g1(0)＝0

k＝0,1,…,n；l＝0,1,…,m/2-1

式中，es(g)為綜合濾波器的阻帶能量；β為綜合權(quán)值；g為綜合濾波器組，g＝[g0；g1；…；gm/2-1]；(·)為第l個綜合濾波器gl的頻率向量，lgl為第l個綜合濾波器gl的長度，gl為第l個綜合濾波器，當l＝1,2,…,m/2-2時，gl＝[0gl1,igl,0gl2]g；當l＝0時，gl＝[igl,0gl2]g；當l＝m/2-1時，gl＝[0gl1,igl]g；0gl1為大小為lgl×(lg0+lg1+…+lg(l-1))的全零矩陣，0gl2為大小為lgl×(lg(l+1)+lg(l+2)+…+lg(m/2-1))的全零矩陣，igl為大小為lgl×lgl的單位矩陣；(·)為第l個分析濾波器hl的頻率向量，lhl為第l個分析濾波器hl的長度，hl為第l個分析濾波器；當l＝1,2,…,m/2-2時，hl＝[0hl1,ihl,0hl2]h；當l＝0時，hl＝[ihl,0hl2]h；當l＝m/2-1時，hl＝[0hl1,ihl]h；h為分析濾波器組，ohl1為大小為lhl×(lh0+lh1+…+lh(l-1))的全零矩陣，ohl2為大小為lhl×(lh(l+1)+lh(l+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ihl為大小為lhl×lhl的單位矩陣；t代表轉(zhuǎn)置；λk為第k個頻率離散點，bk為完全重構(gòu)值；εr為重構(gòu)誤差容限；a^t(λk)為第k個頻率離散點λk處的響應(yīng)向量；g1(0)是第1個綜合濾波器g1在頻率零點處的取值；n+1為頻率離散點數(shù)；m為通道數(shù)；

步驟3、由步驟1所得的分析濾波器h和步驟2所得的綜合濾波器g即可構(gòu)成m通道圖濾波器組。

上述步驟1和2中，采用半正定規(guī)劃求解器sdpt3有效求解分析濾波器和綜合濾波器。

上述方案中，分析權(quán)值α與綜合權(quán)值β相等。

上述方案中，通道數(shù)m為大于2的偶數(shù)。

上述方案中，λk的取值范圍為[0,2]。

上述方案中，完全重構(gòu)值bk＝2。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明利用兩步法進行目標優(yōu)化，同時全面考慮圖濾波器組的頻譜選擇性和完全重構(gòu)條件，從而保證在較小的重構(gòu)誤差條件下改善圖濾波器組的整體性能。本發(fā)明為降低圖濾波器組的重構(gòu)誤差，實現(xiàn)信號的恢復(fù)重構(gòu)提供了簡單有效的解決方案。

附圖說明

圖1為m通道過采樣圖濾波器組的基本結(jié)構(gòu)。

圖2為本發(fā)明實例1中優(yōu)化后所得到圖濾波器的幅度響應(yīng)。

圖3為本發(fā)明實例2中優(yōu)化后所得到圖濾波器的幅度響應(yīng)。

圖4為本發(fā)明使用實例2中所得到的圖濾波器系統(tǒng)與已有方法得到的圖濾波器系統(tǒng)進行去噪實驗的仿真結(jié)果。其中(a)為輸入信號；(b)為噪聲信號(σ＝1/2)；(c)為基于現(xiàn)有方法3(臨界采樣雙正交)設(shè)計的圖濾波器組去噪后的輸出信號；(d)為本發(fā)明設(shè)計的圖濾波器組去噪后的輸出信號。

具體實施方式

為了便于理解，下面以四通道圖濾波器組為例對本發(fā)明進行進一步詳細說明。

將m通道圖濾波器組的分析子帶濾波器hi和綜合子帶濾波器gi分別表示為關(guān)于分析頻譜核和綜合頻譜核的函數(shù)，表示出圖濾波器組的完全重構(gòu)條件；即

式中，hi為第i個分析子帶濾波器，gi為第i個綜合子帶濾波器，hi(λ)為第i個分析子帶濾波器頻譜核在特征根λ處的取值，gi(λ)為第i個綜合子帶濾波器頻譜核在特征根λ處的取值，λ為圖g的拉普拉斯矩陣的特征根，σ(g)是由圖g的拉普拉斯矩陣所有特征根構(gòu)成的特征空間，pλ是特征空間的正交投影矩陣，i是子帶濾波器的序號。

若gk(λ)＝hk+m/2(2-λ),gk+m/2(λ)＝hk(2-λ),則完全重構(gòu)條件可以表示為：

式中，λ∈[0,2],λ是連續(xù)變量。

四通道圖濾波器組的關(guān)于子帶濾波器的分析頻譜核和綜合頻譜核表示為：

式中，lh0,lh1,lg0,lg1分別表示分析濾波器h0,h1和綜合濾波器g0,g1的長度。

頻率的記法和表示類似傳統(tǒng)濾波器組，λpd0,λsd0表示h0,g0的通帶和阻帶的截止頻率，λpd1,λpd2,λsd1,λsd2表示h1,g1的通帶和阻帶的截止頻率。低通濾波器的通帶波紋可用如下積分來衡量：

當i＝0,a＝0,b＝λpd0時上式為ep(h0),即h0的通帶波紋的能量；當i＝1,a＝λpd1,b＝λpd2時上式為ep(h1),即h1的通帶波紋的能量。阻帶衰減由阻帶能量來決定：

在四通道圖濾波器組中，若g0(λ)＝h2(2-λ)，g1(λ)＝h3(2-λ)，g2(λ)＝h0(2-λ)，g3(λ)＝h1(2-λ)，則圖濾波器組是雙正交的。完全重構(gòu)條件可以表示為：

g0(λ)h0(λ)+g0(2-λ)h0(2-λ)+g1(λ)h1(λ)+g1(2-λ)h1(2-λ)＝2(8)

為了方便表示，記完全重構(gòu)條件可表示為：

重構(gòu)誤差可表示為e(λ)＝l(λ)+l(2-λ)-2，設(shè)計中希望重構(gòu)誤差盡可能小。

充分考慮圖濾波器組的頻譜特性和完全重構(gòu)條件，可以將圖濾波器組的設(shè)計問題歸結(jié)為帶約束優(yōu)化問題，通過兩步法來設(shè)計圖濾波器組。上述兩個約束優(yōu)化問題都是半正定規(guī)劃問題，都可有效的求解。設(shè)計中將圖濾波器g0,g1的阻帶能量轉(zhuǎn)換為關(guān)于濾波器g0,g1的函數(shù)，為了簡化和方便計算記h＝[h0；h1]；g＝[g0；g1]；則上述指標都可轉(zhuǎn)換為關(guān)于濾波器h,g的函數(shù)，通過半正定規(guī)劃求最優(yōu)解。

圖1給出了一個通道數(shù)為m的過采樣圖濾波器組系統(tǒng)，基于上述結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法，即基于凸優(yōu)化的m通道過采樣圖濾波器組的優(yōu)化設(shè)計方法，包括如下步驟：

第一步：設(shè)計分析濾波器，以分析濾波器組的通帶波紋和阻帶能量為目標函數(shù)，在3db約束條件下求解使得通帶失真和阻帶能量最小的分析濾波器，優(yōu)化是半正定規(guī)劃問題，可有效的求解。

3db約束即h0(0.5)＝1,h1(0.5)＝1,h1(1)＝1；α,β為權(quán)值，通常取α＝β。為了便于求解，記

h＝[h0；h1]；h0＝[i0,0]h＝b0h；h1＝[0,i1]h＝b1h(11)

其中，b0是大小為lh0×(lh0+lh1)的矩陣，b1是大小為lh1×(lh0+lh1)的矩陣，i0為lh0×lh0的單位矩陣，i1為lh1×lh1的單位矩陣，0為全零矩陣。約束求解問題可簡化如下：

第二步：以解出的分析濾波器為已知條件，在完全重構(gòu)約束條件下，考慮到最大化綜合濾波器阻帶衰減，以綜合濾波器組的阻帶能量為目標函數(shù)來求解綜合濾波器。

其中εr是重構(gòu)誤差容限，n+1是離散點數(shù)，許多實例表明n＝100則可保證重構(gòu)誤差精確度。為方便計算，做如下代換：

g＝[g0；g1]；g0＝[i0,0]g＝c0g；g1＝[0,i1]g＝c1g；(14)

其中，c0是大小為lg0×(lg0+lg1)的矩陣，c1是大小為lg1×(lg0+lg1)的矩陣，i0為lg0×lg0的單位矩陣，i1為lg1×lg1的單位矩陣，0為全零矩陣。上述問題可等效寫為：

其中bk＝2,k＝0,…,n，記

向量a^t(λk)表示如下：

a^t(λk)＝d(λk)+d(2-λk),k＝0,…,n(16)

上述優(yōu)化問題均為半正定規(guī)劃問題，可通過半正定規(guī)劃求解器sdpt3有效求解，解得的圖濾波器為λ的實值函數(shù)。

上述設(shè)計過程可以推廣到任意m(m>2且為偶數(shù))通道圖濾波器組。推廣的基于凸優(yōu)化的m通道過采樣圖濾波器組的優(yōu)化設(shè)計方法，包括如下步驟：

步驟1、從頻譜特性方面考慮來設(shè)計m通道圖濾波器組的分析濾波器，在3db約束條件下，以分析濾波器組的通帶波紋和阻帶能量為目標函數(shù)，通過半正定規(guī)劃求解器來求解使得分析濾波器組的通帶失真和阻帶能量最小的分析濾波器；優(yōu)化問題即

i＝0,1,…,m/2-1；j＝1,2,…,m/2-1

式中，ep(h)為分析濾波器的通帶波紋能量；es(h)為分析濾波器的阻帶能量；α為分析權(quán)值；h為分析濾波器組，h＝[h0；h1；…；hm/2-1]；(·)為第i個分析濾波器hi的頻率向量，lhi為第i個分析濾波器hi的長度，hi為第i個分析濾波器；當i＝1,2,…,m/2-2時，hi＝[0i1,ii,0i2]h；當i＝0時，hi＝[ii,0i2]h；當i＝m/2-1時，hi＝[0i1,ii]h；0i1為大小為lhi×(lh0+lh1+…+lh(i-1))的全零矩陣，0i2為大小為lhi×(lh(i+1)+lh(i+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ii為大小為lhi×lhi的單位矩陣；(·)為第j個分析濾波器hj的頻率向量，lhj為第j個分析濾波器hj的長度，hj為第j個分析濾波器，當j＝1,2,…,m/2-2時，hj＝[0j1,ij，0j2]h；當j＝m/2-1時，hj＝[0j1,ij]h；0j1為大小為lhj×(lh0+lh1+…+lh(j-1))的全零矩陣，0j2為大小為lhj×(lh(j+1)+lh(j+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ij為大小為lhj×lhj的單位矩陣；t代表轉(zhuǎn)置；m為通道數(shù)；

步驟2、將步驟1所解出的分析濾波器作為已知條件，從完全重構(gòu)特性方面考慮來設(shè)計m通道圖濾波器組的綜合濾波器，在完全重構(gòu)約束條件下，以綜合濾波器組的阻帶能量為目標函數(shù)，通過半正定規(guī)劃求解器來求解使得綜合濾波器的阻帶衰減最大的綜合濾波器；優(yōu)化問題即

s.t.|a^t(λk)g-bk|≤εr；g1(0)＝0

k＝0,1,…,n；l＝0,1,…,m/2-1

式中，es(g)為綜合濾波器的阻帶能量；β為綜合權(quán)值；g為綜合濾波器組，g＝[g0；g1；…；gm/2-1]；(·)為第l個綜合濾波器gl的頻率向量，lgl為第l個綜合濾波器gl的長度，gl為第l個綜合濾波器，當l＝1,2,...,m/2-2時，gl＝[0gl1,igl,0gl2]g；當l＝0時，gl＝[igl,ogl2]g；當l＝m/2-1時，gl＝[ogl1,igl]g；ogl1為大小為lgl×(lg0+lg1+…+lg(l-1))的全零矩陣，ogl2為大小為lgl×(lg(l+1)+lg(l+2)+…+lg(m/2-1))的全零矩陣，igl為大小為lgl×lgl的單位矩陣；(·)為第l個分析濾波器hl的頻率向量，lhl為第l個分析濾波器hl的長度，hl為第l個分析濾波器；當l＝1,2,…,m/2-2時，hl＝[0hl1,ihl,0hl2]h；當l＝0時，hl＝[ihl,0hl2]h；當l＝m/2-1時，hl＝[0hl1,ihl]h；h為分析濾波器組，0hl1為大小為lhl×(lh0+lh1+…+lh(l-1))的全零矩陣，0hl2為大小為lhl×(lh(l+1)+lh(l+2)…+lh(m/2-1))的全零矩陣，ihl為大小為lhl×lhl的單位矩陣；t代表轉(zhuǎn)置；λk為第k個頻率離散點，bk為完全重構(gòu)值；εr為重構(gòu)誤差容限；a^t(λk)為第k個頻率離散點λk處的響應(yīng)向量；g1(0)是第1個綜合濾波器g1在頻率零點處的取值；n+1為頻率離散點數(shù)；m為通道數(shù)；

步驟3、由步驟1所得的分析濾波器h和步驟2所得的綜合濾波器g即可構(gòu)成m通道圖濾波器組。

上述優(yōu)化問題均為半正定規(guī)劃問題，可通過半正定規(guī)劃求解器sdpt3有效求解，解得的圖濾波器為λ的實值函數(shù)。

下面通過具體仿真實例，對本發(fā)明的性能進行說明。

仿真實例1：

設(shè)計一個圖濾波器組，參數(shù)如下：lh0＝12，lh1＝12，lg0＝11，lg1＝11，λpd0＝0.4，λpd1＝0.6，λpd2＝0.8，λsd0＝0.75，λsd1＝0.25，λsd2＝1.3，α＝0.1，εr＝10^-9，得到的圖濾波器組幅度響應(yīng)如圖2所示。圖中pr表示l(λ)+l(2-λ),λ∈[0,2]的取值，用于度量圖濾波器組的重構(gòu)誤差。仿真計算得到的最大重構(gòu)誤差和正交性的值分別為emax＝3.9346×10^-9,θ＝0.9353，相同的圖濾波器組長度和運行環(huán)境下，表1給出了本發(fā)明與現(xiàn)有方法1(接近正交的m通道過采樣)設(shè)計的圖濾波器組的重構(gòu)性能和邊界比對比。

表1

rb為邊界比，仿真時取rb的最大值進行對比，rb等于1表明濾波器組是完全重構(gòu)的，此時濾波器組的重構(gòu)特性較好。本發(fā)明設(shè)計出的圖濾波器組的最大邊界比為1，明顯優(yōu)于現(xiàn)有方法設(shè)計的圖濾波器組。通常情況下，采用正交的方法設(shè)計出的圖濾波器組重構(gòu)誤差較雙正交的大，因此，本發(fā)明在重構(gòu)特性上有著顯著的優(yōu)勢。從表1中可以看出本發(fā)明所設(shè)計的雙正交圖濾波器組顯著降低了重構(gòu)誤差。從圖濾波器組幅度響應(yīng)可以看出兩種算法設(shè)計的圖濾波器組的整體頻譜特性相當。在圖濾波器組的設(shè)計中，為了盡可能無失真地恢復(fù)原信號，期望得到的圖濾波器組的重構(gòu)誤差更小，本發(fā)明設(shè)計方法有著更好的重構(gòu)性能，所以本發(fā)明設(shè)計所得的圖濾波器組整體性能更佳。

仿真實例2：

設(shè)計一個圖濾波器組，參數(shù)如下：lh0＝8，lh1＝8，lg0＝7，lg1＝7，λpd0＝0.3，λpd1＝0.6，λpd2＝0.8，λsd0＝0.75，λsd1＝0.25，λsd2＝1.3，α＝0.1，εr＝10^-13，得到的圖濾波器組幅度響應(yīng)如圖3所示。相同的圖濾波器組長度和運行環(huán)境下，表2給出了本發(fā)明與現(xiàn)有方法2(m通道過采樣)設(shè)計的圖濾波器組的重構(gòu)性能和正交性對比。

表2

正交性θ越接近于1表明濾波器組的正交性越好。對比可知，本發(fā)明設(shè)計的圖濾波器組的重構(gòu)誤差明顯比現(xiàn)有方法小，其正交性和整體頻譜特性比現(xiàn)有方法略好。與例1相比，改變圖濾波器組的參數(shù)設(shè)置，綜合濾波器的頻譜特性會有所變差，但是可以獲得更小的重構(gòu)誤差，重構(gòu)誤差是衡量圖濾波器組整體性能的主要性能指標，所以本發(fā)明設(shè)計所得的圖濾波器組整體性能更好。適當松弛重構(gòu)誤差容限可得到頻譜選擇性更好的圖濾波器，可根據(jù)需要靈活設(shè)計圖濾波器組。

用上述例2參數(shù)設(shè)計的圖濾波器組對密尼蘇達交通圖進行去噪實驗，噪聲標準差σ＝1/2時，使用現(xiàn)有方法3(臨界采樣雙正交)和本發(fā)明方法設(shè)計的圖濾波器組去噪的仿真結(jié)果如圖4所示，其中(a)為輸入信號；(b)為噪聲信號(σ＝1/2)；(c)為基于現(xiàn)有方法3(臨界采樣雙正交)設(shè)計的圖濾波器組去噪后的輸出信號；(d)為本發(fā)明設(shè)計的圖濾波器組去噪后的輸出信號。表3給出了噪聲σ取不同值時的信噪比對比。

表3

相同的參數(shù)和運行環(huán)境下，本發(fā)明與現(xiàn)有方法3(臨界采樣雙正交)相比具有較高的信噪比，與現(xiàn)有方法2(m通道過采樣)相比，信噪比稍差1.5db左右。